Feuille brownienne

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En mathématiques, une feuille brownienne est une généralisation multiparamétrique du mouvement brownien à un champ gaussien, plus précisément une généralisation du paramètre "temps" $t\in \mathbb {R} _{+}$ d'un mouvement brownien $B_{t}$ de temps $t\in \mathbb {R} _{+}^{n}$ .

La dimension exacte $n$ de l'espace du nouveau paramètre temporel varie selon les auteurs. L'article présent suit John B. Walsh et définit la feuille (n,d)-brownienne, tandis que certains auteurs définissent la feuille brownienne spécifiquement uniquement pour $n=2$ ^[1].

(n,d)-feuille brownienne[modifier | modifier le code]

Un processus gaussien $B=(B_{t},t\in \mathbb {R} _{+}^{n})$ de dimension $d$ est une (n,d)-feuille brownienne, si

la moyenne est $\mathbb {E} [B_{t}]=0$ pour tous $t=(t_{1},\dots t_{n})\in \mathbb {R} _{+}^{n}$
la fonction de covariance est^[2]

\operatorname {cov} (B_{s}^{(i)},B_{t}^{(j)})={\begin{cases}\prod \limits _{l=1}^{n}s_{l}\wedge t_{l}&{\text{si }}i=j,\\0&{\text{sinon}}\end{cases}}

pour tous

1\leq i,j\leq d

.

Propriétés[modifier | modifier le code]

$B(0,t_{2},\dots ,t_{n})=B(t_{1},0,\dots ,t_{n})=\cdots =B(t_{1},t_{2},\dots ,0)=0$ presque sûrement.

Exemples[modifier | modifier le code]

La $(1,1)$ -feuille brownienne est le mouvement brownien en $\mathbb {R} ^{1}$ .
La $(1,d)$ -feuille brownienne est le mouvement brownien en $\mathbb {R} ^{d}$ .
La $(2,1)$ -feuille brownienne $X_{t,s}$ est le mouvement brownien de dimension $\mathbb {R} ^{1}$ et de temps $(t,s)\in \mathbb {R} _{+}\times \mathbb {R} _{+}$ .

Bibliographie[modifier | modifier le code]

John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, 1986 (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
Davar Khoshnevisan, Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields, Springer (ISBN 978-0387954592)

Références[modifier | modifier le code]

↑ John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, 1986 (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269
↑ Davar Khoshnevisan et Yimin Xiao, « Images of the Brownian Sheet », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 359, n^o 7,‎ 2004 (arXiv math/0409491)

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[1] John B. Walsh, An introduction to stochastic partial differential equations, Springer Berlin Heidelberg, 1986 (ISBN 978-3-540-39781-6), p. 269

[2] Davar Khoshnevisan et Yimin Xiao, « Images of the Brownian Sheet », Transactions of the American Mathematical Society, vol. 359, n^o 7,‎ 2004 (arXiv math/0409491)

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